Приведите выражение x² + 8xy + 16y² − 4z к более простому виду.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим, образуют ли первые три слагаемых полный квадрат. Трёхчлен вида $A^2 + 2AB + B^2$ является полным квадратом, если крайние члены — это квадраты, а средний — удвоенное произведение их корней. Здесь $x^2 = (x)^2$, $16y^2 = (4y)^2$, а

   $2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$

   что полностью совпадает со средним членом.

2. 2

   Запишем полный квадрат.

   $x^2 + 8xy + 16y^2 = (x + 4y)^2$

3. 3

   Восстановим выражение с оставшимся членом.

   $x^2 + 8xy + 16y^2 - 4z = (x + 4y)^2 - 4z$

4. 4

   Объясним, почему дальше упростить нельзя. Вид $(x+4y)^2 - 4z$ — это разность квадратов только если $4z$ само является квадратом, то есть $z = w^2$ для некоторого выражения $w$; тогда можно было бы разложить как $\left(x + 4y - 2w\right)\left(x + 4y + 2w\right)$. Но если $z$ — независимая переменная, дальнейшее разложение в кольце многочленов невозможно.

5. 5

   Проверим на числовых примерах. При $(x, y, z) = (3, -1, 2)$ исходное выражение даёт $9 - 24 + 16 - 8 = -7$, а $(3 - 4)^2 - 8 = 1 - 8 = -7$. При $(2, 1, 0)$: $4 + 16 + 16 - 0 = 36$, а $(2+4)^2 = 36$. Совпадает в обоих случаях.