Найти действительные корни уравнения 7(s + 9)² − 20(s + 9) = 3.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем повторяющийся блок. Выражение $s+9$ встречается в квадрате и в первой степени и больше нигде. Это верный признак замены: уравнение квадратное относительно этого блока, а не относительно самого $s$.

2. 2

   Полагаем u = s + 9. Уравнение принимает вид $7u^2-20u=3$, а после переноса $3$ — стандартный вид $7u^2-20u-3=0$. Можно было бы сначала раскрыть квадрат, но тогда числа станут крупнее без всякой пользы.

3. 3

   Раскладываем квадратный трёхчлен относительно u. Ищем два числа с произведением $7\cdot(-3)=-21$ и суммой $-20$: это $-21$ и $1$, поэтому $7u^2-21u+u-3=7u(u-3)+(u-3)=(7u+1)(u-3)=0$. Отсюда $u=3$ или $u=-\frac17$.

4. 4

   Возвращаемся к исходной переменной. Так как $u=s+9$, имеем $s=u-9$. При $u=3$ получаем $s=-6$. При $u=-\frac17$ получаем $s=-\frac17-9=-\frac{64}{7}$.

5. 5

   Проверяем оба корня в исходном уравнении. При $s=-6$: $s+9=3$, поэтому $7(9)-20(3)=63-60=3$. При $s=-\frac{64}{7}$: $s+9=-\frac17$, поэтому $7\cdot\frac{1}{49}+\frac{20}{7}=\frac17+\frac{20}{7}=3$. Оба дают ровно $3$.