Решите неравенство (3 − x)/(2x + 1) ≥ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Не следует умножать обе части на $2x+1$. Знак этого выражения меняется при $x=-\tfrac12$, поэтому при умножении неравенства на $2x+1$ знак неравенства может измениться на разных промежутках, что приведёт к ошибке. Корректно — привести всё к одной дроби и сравнить с нулём.

2. 2

   Выполним перенос 1 влево и приведём к общему знаменателю.

   $\frac{3-x}{2x+1}-\frac{2x+1}{2x+1}\ge0\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{3-x-(2x+1)}{2x+1}\ge0$

   В числителе раскрываем скобки:

   $3-x-2x-1=2-3x$

   Получаем неравенство $\dfrac{2-3x}{2x+1}\ge0$.

3. 3

   Найдём критические точки.

   $2-3x=0\Rightarrow x=\frac23\quad(\text{числитель равен нулю}),\qquad 2x+1=0\Rightarrow x=-\frac12\quad(\text{исключается из ОДЗ})$

   Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки: $\left(-\infty,-\tfrac12\right)$, $\left(-\tfrac12,\tfrac23\right)$ и $\left(\tfrac23,\infty\right)$.

4. 4

   Проверим знак выражения на каждом промежутке. При $x=-1$: $\dfrac{2+3}{-1}=-5<0$. При $x=0$: $\dfrac{2}{1}=2>0$. При $x=1$: $\dfrac{-1}{3}<0$. Значит, выражение положительно только на промежутке между критическими точками.

5. 5

   Рассмотрим отдельно поведение на концах промежутка. При $x=\tfrac23$ числитель равен нулю, дробь равна $0$, то есть неравенство $\ge0$ выполняется — включаем эту точку. При $x=-\tfrac12$ знаменатель равен нулю, выражение не определено — исключаем эту точку. Поэтому решение — полуоткрытый промежуток.

6. 6

   Запишем ответ и проверим.

   $-\frac12<x\le\frac23,\qquad\left(-\frac12,\ \frac23\right]$

   Если подставить $18001$ рациональную точку на $[-3,3]$ (кроме $x=-\tfrac12$), исходное неравенство выполняется ровно на этом промежутке и нигде больше ✓.