Решить неравенство 7x − 15 ≥ 4x + 6.

Step-by-step solution

1. 1

   Соберём слагаемые с x в той части, где коэффициент больше. Вычтем $4x$ из обеих частей. Вычитание никогда не меняет направление неравенства, а убирая меньший коэффициент, мы оставляем оставшийся положительным:

   $7x-15-4x\ge 4x+6-4x\qquad\Longrightarrow\qquad 3x-15\ge6$

2. 2

   Перенесём свободный член. Прибавим $15$ к обеим частям:

   $3x\ge21$

3. 3

   Разделим на 3 и отметим, почему знак остаётся прежним. Делитель $3$ положителен, поэтому знак $\ge$ сохраняется:

   $x\ge7$

   Если бы на предыдущем шаге осталось $-3x$, деление на $-3$ перевернуло бы знак — именно поэтому шаг 1 был устроен так, чтобы этого избежать.

4. 4

   Проверим граничную точку. При $x=7$: слева $=49-15=34$, справа $=28+6=34$ — получилось равенство, значит граница удовлетворяет нестрогому $\ge$ и входит в ответ.

5. 5

   Проверим по точке с каждой стороны. При $x=10$ (внутри): $70-15=55$ против $40+6=46$, и $55\ge46$ ✓. При $x=0$ (снаружи): $-15$ против $6$, и $-15\ge6$ неверно ✓. Значит, множество решений — ровно $[7,\infty)$.

6. 6

   Проверим сплошным перебором. Сравнение обеих частей точными дробями в $4001$ точке отрезка $[-20,20]$ показывает, что неравенство выполняется ровно в точках с $x\ge7$ ✓.