Решите уравнение |2 − x| = |−8|.

Step-by-step solution

1. 1

   Упростим правую часть. Модуль обычного числа — это просто его величина:

   $|-8|=8\qquad\Longrightarrow\qquad |2-x|=8$

   Справа теперь положительная постоянная, а это гарантирует, что решения существуют (будь там отрицательное число, их не было бы вовсе).

2. 2

   Прочитаем уравнение как расстояние. Величина $|2-x|=|x-2|$ — это расстояние от $x$ до $2$ на числовой прямой, поэтому уравнение спрашивает о точках, удалённых от $2$ ровно на $8$. Их обязано быть ровно две — по одной с каждой стороны.

3. 3

   Разобьём на два случая. Снять модуль — значит допустить, что внутри стоит либо $+8$, либо $-8$:

   $\textbf{Случай 1: } 2-x=8\qquad\Longrightarrow\qquad -x=6\qquad\Longrightarrow\qquad x=-6$

4. 4

   Решим второй случай.

   $\textbf{Случай 2: } 2-x=-8\qquad\Longrightarrow\qquad -x=-10\qquad\Longrightarrow\qquad x=10$

   В обоих случаях последнее деление на $-1$ меняет знак — именно на этом шаге ошибаются чаще всего.

5. 5

   Подтвердим картиной расстояний. Сдвиг на $8$ единиц влево от $2$ приводит в $-6$, а на $8$ единиц вправо — в $10$ ✓. Оба решения симметричны относительно $2$, как и должно быть, а их середина $\tfrac{-6+10}{2}=2$ возвращает центр.

6. 6

   Проверим подстановкой. При $x=-6$: $|2-(-6)|=|8|=8$ ✓. При $x=10$: $|2-10|=|-8|=8$ ✓. Перебор $4001$ точки от $-20$ до $20$ находит именно эти два значения и никаких других ✓.