Разложите многочлен x⁴ + 2x³ + 3x² + 2x + 1 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что коэффициенты образуют палиндром. Набор $1,\ 2,\ 3,\ 2,\ 1$ читается одинаково слева направо и справа налево. Палиндромный многочлен четвёртой степени часто оказывается квадратом палиндромного квадратного трёхчлена, поэтому попробуем вид $\left(x^2 + bx + c\right)^2$.

2. 2

   Приравняем коэффициенты. Раскроем пробный квадрат:

   $\left(x^2 + bx + c\right)^2 = x^4 + 2bx^3 + \left(b^2 + 2c\right)x^2 + 2bc\,x + c^2$

   Сравниваем с исходным многочленом: из $2b = 2$ следует $b = 1$; из $c^2 = 1$ вместе с коэффициентом при $x$, равным $2bc = 2$, получаем $c = 1$; проверка при $x^2$ даёт $b^2 + 2c = 1 + 2 = 3$. Все коэффициенты совпали.

3. 3

   Запишем разложение.

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x^2 + x + 1\right)^2$

4. 4

   Убедимся, что над действительными числами разложение полное. Дискриминант внутреннего трёхчлена равен $1 - 4 = -3 < 0$, значит, над $\mathbb{R}$ он неприводим и нигде не обращается в нуль. Выделив полный квадрат, получаем $x^2 + x + 1 = \left(x + \tfrac12\right)^2 + \tfrac34 \ge \tfrac34$, поэтому исходный многочлен ограничен снизу величиной $\left(\tfrac34\right)^2 = \tfrac{9}{16}$ и действительных корней не имеет вовсе.

5. 5

   Отметим разложение над комплексными числами. Над $\mathbb{C}$ корнями трёхчлена $x^2 + x + 1$ служат первообразные кубические корни из единицы $\omega = \tfrac{-1 \pm i\sqrt3}{2}$, и каждый из них является двукратным корнем исходного многочлена:

   $x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = \left(x - \omega\right)^2\left(x - \bar\omega\right)^2$

6. 6

   Проверим численно. При $x = 2$ многочлен даёт $16 + 16 + 12 + 4 + 1 = 49$, а $\left(4 + 2 + 1\right)^2 = 7^2 = 49$. При $x = -1.7$ обе записи дают $4.7961$.