Запишите 2x + x² − 1 в стандартном виде и решите уравнение 2x + x² − 1 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Переставляем слагаемые в стандартный вид. В стандартной записи слагаемые идут по убыванию степени — именно это предполагает любой способ решения квадратного уравнения:

   $2x+x^{2}-1=x^{2}+2x-1$

   так что $a=1$, $b=2$, $c=-1$. Перестановка ничего не меняет по существу (сложение коммутативно), зато не даёт принять $2$ за старший коэффициент.

2. 2

   Проверяем разложение с целыми числами и отказываемся от него. Нужны два целых числа с произведением $-1$ и суммой $2$; единственная целая пара для $-1$ — это $(1,-1)$, а её сумма равна $0$. Значит, разложения с целыми коэффициентами нет и корни иррациональны.

3. 3

   Выделяем полный квадрат — при чётном $b$ это быстрее формулы. Половина от $b=2$ равна $1$, поэтому

   $x^{2}+2x-1=(x+1)^{2}-1-1=(x+1)^{2}-2$

   Приравнивая к нулю, получаем $(x+1)^{2}=2$ — вид, который решается устно.

4. 4

   Извлекаем корень, сохраняя оба знака.

   $x+1=\pm\sqrt{2}\qquad\Longrightarrow\qquad x=-1\pm\sqrt{2}$

5. 5

   Перепроверяем по формуле корней.

   $x=\frac{-2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{-2\pm2\sqrt{2}}{2}=-1\pm\sqrt{2}\ \checkmark$

   (Здесь $\sqrt{8}=2\sqrt2$, поэтому двойка сокращается.) Теорема Виета тоже подтверждает: сумма корней равна $-2=-b/a$ ✓, произведение равно $1-2=-1=c/a$ ✓. Численно $x\approx0.4142$ и $x\approx-2.4142$, невязки меньше $10^{-12}$ ✓.