Решить неравенство x² - 2x - 1 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем разложить на множители и видим, почему это невозможно. Целые делители числа $-1$ — только $\pm1$, и ни одна пара не даёт в сумме $-2$. Значит, тричлен не раскладывается на целые множители, поэтому границы придётся искать по формуле корней квадратного уравнения.

2. 2

   Решим соответствующее уравнение по формуле корней. При $a=1$, $b=-2$, $c=-1$:

   $x=\frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4(1)(-1)}}{2}=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2$

   Дискриминант $8$ положителен, но не является точным квадратом, поэтому границы — иррациональные числа.

3. 3

   Выпишем численные значения границ. $1-\sqrt2\approx-0.4142$ и $1+\sqrt2\approx2.4142$. Десятичные приближения помогают наглядно рассуждать о знаках и проверять ответ.

4. 4

   Используем направление ветвей параболы вместо таблицы знаков. Старший коэффициент $a=1$ положителен, значит, парабола направлена ветвями вверх и пересекает ось $x$ в найденных точках. Ветви вверх означают, что выражение отрицательно между корнями и положительно вне их. Так как требуется $>0$, берём внешние промежутки:

   $x<1-\sqrt2\qquad\text{или}\qquad x>1+\sqrt2$

5. 5

   Проверим на контрольных точках. При $x=0$ (между корнями): $0-0-1=-1<0$, точка правильно не входит в ответ. При $x=-1$ (левее): $1+2-1=2>0$ ✓. При $x=3$ (правее): $9-6-1=2>0$ ✓.

6. 6

   Учитываем строгость и записываем ответ через интервалы. Неравенство строгое, поэтому сами корни, где выражение обращается в $0$, не включаются:

   $(-\infty,\,1-\sqrt2)\cup(1+\sqrt2,\,\infty)$

   Проверка по $1201$ точке на $[-6,6]$ полностью подтверждает этот ответ ✓.