Разбить (4x¹⁰ − 5x⁹ − 20x⁴)/(4x²) на отдельные дроби и упростить.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбиваем одну дробь на три. Сумму в числителе всегда можно делить почленно — это распределительный закон для деления: $\tfrac{a+b+c}{d}=\tfrac ad+\tfrac bd+\tfrac cd$. (С суммой в знаменателе так поступать нельзя, и именно здесь чаще всего путаются.)

   $\frac{4x^{10}}{4x^{2}}-\frac{5x^{9}}{4x^{2}}-\frac{20x^{4}}{4x^{2}}$

2. 2

   Упрощаем первое слагаемое. Делим коэффициенты и вычитаем показатели:

   $\frac{4x^{10}}{4x^{2}}=1\cdot x^{10-2}=x^{8}$

3. 3

   Упрощаем второе слагаемое. Здесь $5$ на $4$ нацело не делится, поэтому дробь сохраняется:

   $\frac{5x^{9}}{4x^{2}}=\frac54x^{7}$

4. 4

   Упрощаем третье слагаемое.

   $\frac{20x^{4}}{4x^{2}}=5x^{2}$

5. 5

   Собираем всё обратно с исходными знаками.

   $\boxed{x^{8}-\frac54x^{7}-5x^{2}}\qquad(x\neq 0)$

6. 6

   Проверяем обратным умножением. $4x^{2}\left(x^{8}-\tfrac54x^{7}-5x^{2}\right)=4x^{10}-5x^{9}-20x^{4}$ ✓ — это исходный числитель. Быстрая числовая проверка при $x=1$: исходное выражение равно $\tfrac{4-5-20}{4}=-\tfrac{21}{4}=-5.25$, а полученный ответ даёт $1-1.25-5=-5.25$ ✓.