Разложить x²−4x на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала ищем общий множитель. В данном выражении нет свободного члена — это признак того, что можно вынести общий множитель, а не искать два числа для разложения на множители. Представим каждое слагаемое в виде произведения:

   $x^{2}=x\cdot x,\qquad4x=4\cdot x$

   В обоих слагаемых содержится ровно один $x$, значит, наибольший общий множитель — $x$ (не $x^{2}$, так как в $4x$ только одна степень $x$).

2. 2

   Делим каждое слагаемое на общий множитель и записываем частные в скобках.

   $\frac{x^{2}}{x}=x,\qquad\frac{-4x}{x}=-4$

   Получаем:

   $x^{2}-4x=x(x-4)$

   Знак переносится вместе со слагаемым: так как в исходном выражении $-4x$, в скобках пишем $-4$.

3. 3

   Проверим раскрытием скобок. $x(x-4)=x\cdot x-x\cdot4=x^{2}-4x$ ✓. Тождество проверено для всех целых $x$ от $-20$ до $19$ ✓. Частая ошибка — записывать $x(x-4x)$, то есть делить только одно из двух слагаемых.

4. 4

   Находим корни. Приравниваем разложенное выражение к нулю и применяем свойство нуля произведения:

   $x(x-4)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\ \text{ или }\ x=4$

   Обратите внимание: $x=0$ — это полноценный корень, его легко потерять, если делить обе части на $x$ вместо разложения на множители — деление на переменную, которая может быть равна нулю, уничтожает решение.

5. 5

   Геометрический смысл. График $x^{2}-4x$ — это парабола, ветви вверх, проходит через точки $(0,0)$ и $(4,0)$, вершина находится в середине, при $x=2$, где значение $4-8=-4$. Следовательно, $x^{2}-4x<0$ ровно на интервале $(0,4)$, а наименьшее значение — $-4$.