Упростите sqrt(3 + sqrt 5) + sqrt(3 − sqrt 5).

Step-by-step solution

1. 1

   Убедитесь, что выражение действительно, и обозначьте его. Так как $\sqrt5\approx 2.236<3$, оба числа $3+\sqrt5$ и $3-\sqrt5$ положительны, значит оба корня действительны и положительны. Положим

   $S=\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}$

   Именно обозначение суммы делает возможным следующий ход: вложенные радикалы редко упрощаются по отдельности, зато их квадрат часто упрощается.

2. 2

   Возведите сумму в квадрат по формуле $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$. Каждый корень при возведении в квадрат исчезает:

   $S^2=(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)+2\sqrt{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}$

3. 3

   Упростите две простые части. Слагаемые с $\sqrt5$ в сумме сокращаются, а произведение под оставшимся корнем — это разность квадратов:

   $(3+\sqrt5)+(3-\sqrt5)=6,\qquad (3+\sqrt5)(3-\sqrt5)=3^2-(\sqrt5)^2=9-5=4$

   Ради этого сокращения сопряжённая пара и была выбрана.

4. 4

   Соберите $S^2$.

   $S^2=6+2\sqrt4=6+2\cdot 2=10$

5. 5

   Выберите правильный знак корня. Возведение в квадрат может внести лишний знак, поэтому определите его по исходному выражению: $S$ — сумма двух положительных чисел, значит $S>0$ и

   $S=\sqrt{10}$

   Численно $\sqrt{3+\sqrt5}+\sqrt{3-\sqrt5}=2.288246+0.874032=3.162278=\sqrt{10}$. ✓