Решить 71 × 8 = 71(8,9 − x) − x · √((8,9 − x)² − 64) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Вводится замена $u=8.9-x$ для удобства разложения подкоренного выражения. Выражение $(8.9-x)^2-64$ — это разность квадратов по $u$. Подставляя $u=8.9-x$ (значит, $x=8.9-u$ и $71\cdot 8=568$), уравнение принимает вид:

   $568=71u-(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$

   $71(u-8)=(8.9-u)\sqrt{(u-8)(u+8)}$

   Запись $568$ как $71\cdot 8$ позволяет вынести множитель $u-8$ — именно поэтому уравнение имеет красивый корень на границе области определения.

2. 2

   Определяется область допустимых значений и сразу исключается одна ветвь. Подкоренное выражение требует $u^2\ge 64$, то есть $u\ge 8$ или $u\le -8$.

   Если $u\le -8$, левая часть $71(u-8)$ отрицательна, а правая $(8.9-u)\sqrt{u^2-64}$ содержит положительный множитель $8.9-u>0$ и неотрицательный корень, значит, вся правая часть $\ge 0$. Совпадения быть не может — это также исключает все $x\ge 16.9$.

   Значит, остается $u\ge 8$, то есть $x\le 0.9$. На этой ветви левая часть $\ge 0$, а значит, требуется $x=8.9-u\ge 0$: область поиска сужается до $0\le x\le 0.9$.

3. 3

   Вводится $w=u-8\ge 0$ и сразу находится граничный корень. Тогда $8.9-u=0.9-w$ и

   $71w=(0.9-w)\sqrt{w(w+16)}$

   При $w=0$ уравнение обращается в тождество: обе части равны нулю. Это дает $u=8$ и

   $x=8.9-8=0.9$

   Подставим в исходное уравнение: $71(8.9-0.9)-0.9\sqrt{8^2-64}=568-0=568$. ✓ Это тот самый корень, который часто пропускают численные методы, так как он лежит на границе области определения радикала.

4. 4

   Для $w>0$ уравнение возводится в квадрат и делится на $w$. Возведение в квадрат дает $5041w^2=(0.9-w)^2w(w+16)$, делим на $w>0$:

   $5041w=(w^2-1.8w+0.81)(w+16)=w^3+14.2w^2-27.99w+12.96$

   $w^3+14.2w^2-5068.99w+12.96=0$

   Три корня: $w\approx -78.6511$, $w\approx 0.00255674$ и $w\approx 64.4486$. Только малый положительный удовлетворяет $0<w<0.9$; остальные приводят к отрицательному $0.9-w$ при положительном $71w$ (или наоборот), то есть возникли после возведения в квадрат.

5. 5

   Проводится обратная подстановка и численная проверка обоих решений. По формуле $x=0.9-w$:

   $x=0.9-0.0025567407\ldots=0.8974432593\ldots$

   Подставим в исходное уравнение: $71(8.0025567)-0.8974433\sqrt{8.0025567^2-64}=568.0000000$, остаток $0$ с машинной точностью. Вместе с граничным корнем:

   $x=0.9\qquad\text{и}\qquad x\approx 0.8974432593$

6. 6

   Почему популярный «корень» $x\approx 0.797$ неверен. Часто сначала возводят в квадрат, а затем пытаются разложить многочлен $x^4-17.8x^3-5025.79x^2+9073.8x-4083.21$ как $(x^2+63.2x-63.9)(x^2-81x+63.9)$. Однако при раскрытии скобок коэффициент при $x^2$ получается $-5119.2$, а не $-5025.79$, то есть разложение неверно, и найденные значения $0.7968$ и $0.9954$ не являются корнями. Подстановка $x=0.7968$ в исходное уравнение дает примерно $574.30$, а $0.9954$ вообще не входит в область определения, так как $(8.9-0.9954)^2-64\approx -1.52<0$.