Решите двойное неравенство (x + 1)(x + 2) ≥ (x + 3)(x + 4) ≥ (x + 5)(x + 6) и запишите ответ в виде промежутка.

Step-by-step solution

1. 1

   Разбиваем цепочку на два отдельных неравенства. Запись вида $A\ge B\ge C$ — это сокращение для двух условий, которые должны выполняться одновременно:

   $\text{(I)}\quad (x+1)(x+2)\ge(x+3)(x+4),\qquad \text{(II)}\quad (x+3)(x+4)\ge(x+5)(x+6)$

   Ответ — это пересечение двух множеств решений, а не их объединение. Возникает соблазн сразу сравнить крайние выражения $(x+1)(x+2)$ и $(x+5)(x+6)$, но это более слабое условие, и оно дало бы неверный (слишком широкий) ответ.

2. 2

   Раскрываем скобки в (I) и следим, как сокращаются квадратичные члены. После перемножения

   $x^2+3x+2\ \ge\ x^2+7x+12$

   В обеих частях стоит один и тот же старший член $x^2$, поэтому вычесть $x^2$ из обеих частей законно, и остаётся линейное неравенство:

   $3x+2\ \ge\ 7x+12$

   Именно в этом сокращении и заключается смысл задачи: у произведений последовательно сдвинутых скобок старший коэффициент равен $1$, поэтому ни метод интервалов, ни исследование параболы не понадобятся.

3. 3

   Решаем линейное неравенство (I). Соберём члены с $x$ в одной части:

   $3x+2\ge 7x+12\ \Longrightarrow\ -10\ge 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{10}{4}=-\frac{5}{2}$

   Деление на положительное число $4$ не меняет знак неравенства; направление меняется только при делении или умножении на отрицательное число. Читая запись $-\tfrac52\ge x$ справа налево, получаем $x\le-\tfrac52$.

4. 4

   Точно так же поступаем с (II). Раскрывая скобки,

   $x^2+7x+12\ \ge\ x^2+11x+30\ \Longrightarrow\ 7x+12\ \ge\ 11x+30$

   $-18\ \ge\ 4x\ \Longrightarrow\ x\le-\frac{18}{4}=-\frac{9}{2}$

5. 5

   Пересекаем два условия. Нужно, чтобы одновременно выполнялись $x\le-\tfrac52$ и $x\le-\tfrac92$. Так как $-\tfrac92=-4.5$ лежит левее $-\tfrac52=-2.5$, второе условие строже и автоматически влечёт первое:

   $x\le-\frac{9}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty,\,-\frac{9}{2}\right]$

6. 6

   Проверяем одно значение внутри ответа и одно вне его. При $x=-5$: $(-4)(-3)=12$, $(-2)(-1)=2$, $(0)(1)=0$, и цепочка $12\ge2\ge0$ выполняется. ✓ При $x=-4$ (это значение удовлетворяет (I), но не (II)): $(-3)(-2)=6$, $(-1)(0)=0$, $(1)(2)=2$, и $0\ge2$ неверно. ✗ Это подтверждает, что множества решений нужно было именно пересекать, а не объединять, и что граничная точка $x=-\tfrac92$ входит в ответ, поскольку оба неравенства допускают равенство.