Раскройте скобки и упростите (1 + √2)(√2 − 4).

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним перемножение по формуле распределительного закона (FOIL). Перемножаются все члены двух двучленов:

   $1\cdot\sqrt{2}=\sqrt{2},\qquad 1\cdot(-4)=-4,$
   $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2,\qquad \sqrt{2}\cdot(-4)=-4\sqrt{2}.$

2. 2

   Обратим внимание на ключевое упрощение. $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ — произведение корня на самого себя даёт подкоренное выражение. Оставлять как $\sqrt{4}$ или, тем более, как $2\sqrt{2}$ — типичная ошибка.

3. 3

   Сложим полученные слагаемые.

   $\sqrt{2}-4+2-4\sqrt{2}.$

4. 4

   Объединим отдельно рациональные и отдельно иррациональные части.

   $\underbrace{(-4+2)}_{\text{рациональные}}+\underbrace{\left(\sqrt{2}-4\sqrt{2}\right)}_{\text{иррациональные}}=-2-3\sqrt{2}.$

   Иррациональные слагаемые складываются как $1x-4x=-3x$, потому что радикал одинаковый.

5. 5

   Проверим численно. $\sqrt2=1.414214$, исходное выражение: $(2.414214)(-2.585786)=-6.242641$, а $-2-3(1.414214)=-6.242641$. Совпадает до последней цифры.