Решите 1/(x-2) + 2/(x+2) = 3/(x²-4) относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем знаменатель справа и выпишем запрещённые значения. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$, все три знаменателя содержат одни и те же множители, и наименьший общий знаменатель — $(x-2)(x+2)$. Значения $x=2$ и $x=-2$ обращают знаменатель в ноль, поэтому не могут быть корнями — это нужно проверить в конце.

2. 2

   Приведём две дроби слева к общему знаменателю. Запишем каждую дробь со знаменателем $(x-2)(x+2)$:

   $\frac{1}{x-2}+\frac{2}{x+2}=\frac{(x+2)+2(x-2)}{(x-2)(x+2)}$

3. 3

   Упростим числитель:

   $(x+2)+2(x-2)=x+2+2x-4=3x-2$

   Таким образом, уравнение принимает вид

   $\frac{3x-2}{(x-2)(x+2)}=\frac{3}{(x-2)(x+2)}$

4. 4

   Приравняем числители. Поскольку знаменатели одинаковы и не равны нулю при допустимых $x$, равенство дробей возможно только при равенстве числителей:

   $3x-2=3\quad\Rightarrow\quad 3x=5\quad\Rightarrow\quad x=\frac{5}{3}$

5. 5

   Проверим найденное значение на запрещённость и подстановкой. $\frac53\neq 2$ и $\frac53\neq -2$, значит, корень допустим. Подставим: левая часть $\frac{1}{5/3-2}+\frac{2}{5/3+2}=-3+\frac{6}{11}=-\frac{27}{11}$, правая часть $\frac{3}{25/9-4}=\frac{3}{-11/9}=-\frac{27}{11}$. Значения совпадают, значит, $x=\frac53$ — решение.