Решить x³ − 245,711x² + 2,764156x + 0,093547 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Перед началом алгебраических преобразований анализируем размеры коэффициентов. В уравнении $x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.093547=0$ по теоремам Виета сумма корней равна $245.711$, а произведение — $-0.093547$. Такая большая сумма и малое произведение означают, что один корень будет большим, а два других — малыми по модулю. Для каждой группы корней потребуется свой подход к приближённому вычислению.

2. 2

   Находим два малых корня, отбросив $x^{3}$. Если $|x|$ порядка сотых, то $x^{3}$ будет порядка $10^{-5}$, что ничтожно по сравнению с $245.711x^{2}$. Отбрасывая $x^{3}$, получаем квадратное уравнение $245.711x^{2}-2.764156x-0.093547=0,$ дискриминант которого $D=(-2.764156)^{2}+4(245.711)(0.093547)=99.5826660603,\qquad \sqrt{D}=9.9791114865.$ По формуле корней квадратного уравнения имеем $x\approx -0.014681792\quad\text{и}\quad x\approx 0.025931414.$

3. 3

   Уточняем эти два корня одним шагом метода Ньютона. Отброшенный член $x^{3}$ смещает корни только в седьмом знаке после запятой, поэтому применяем метод Ньютона $x\mapsto x-\dfrac{f(x)}{f'(x)}$ к полному кубическому уравнению. Получаем $x=-0.014681475\qquad\text{и}\qquad x=0.025933162.$ По сравнению с приближениями из квадратного уравнения поправки составляют лишь $3.2\times 10^{-7}$ и $1.7\times 10^{-6}$, что подтверждает корректность метода: отброшенный $x^{3}$ действительно был порядка $10^{-5}$ на фоне $245.711x^{2}$ порядка $10^{-1}$.

4. 4

   Большой корень находим из суммы корней, а не по формуле для кубического. Так как сумма трёх корней должна быть равна $245.711$, имеем $x_{\text{большой}}=245.711-\left(-0.014681475+0.025933162\right)=245.699748313.$ Подстановка этого значения в $f(x)=x^{3}-245.711x^{2}+2.764156x+0.093547$ даёт ноль с точностью до двенадцатого знака.

5. 5

   Проверяем оба соотношения Виета. Три корня $-0.014681475$, $0.025933162$ и $245.699748313$ в сумме дают ровно $245.711000000$, а их произведение равно $-0.093547$, что совпадает с $-c$ по теореме Виета. Особенно важна проверка произведения: пара малых корней может быть ошибочной и всё равно дать верную сумму, потому что большой корень компенсирует разницу — только произведение выявляет ошибку.

6. 6

   Записываем ответ. $x=-0.014681475,\qquad x=0.025933162,\qquad x=245.699748313.$ Все три корня вещественные, что соответствует графику кубического многочлена: пересечение оси $x$ чуть ниже нуля, чуть выше и далеко вправо около $245.7$.