Чему равно минимальное значение |x+1| + |x−2|?

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим каждый модуль как расстояние. Поскольку $|x-a|$ — это расстояние от $x$ до $a$ на числовой прямой, перепишем выражение как

   $|x-(-1)|+|x-2|$

   то есть сумма расстояний от точки $x$ до двух фиксированных точек $-1$ и $2$. Такой подход заменяет разбор по случаям на одно геометрическое рассуждение.

2. 2

   Подумаем, где сумма расстояний минимальна. Если $x$ находится между $-1$ и $2$, то оба расстояния складываются точно в расстояние между этими точками. Если $x$ вне этого промежутка, приходится возвращаться назад, и сумма становится строго больше.

3. 3

   Вычислим расстояние между точками.

   $2-(-1)=3$

   Значит, минимальное значение равно $3$, и оно достигается при любом $x$ из $[-1,2]$, а не только в одной точке.

   $\boxed{3}$

4. 4

   Проверим алгебраически разбором по случаям. Для $x<-1$: $-(x+1)-(x-2)=1-2x>3$. Для $-1\le x\le 2$: $(x+1)-(x-2)=3$. Для $x>2$: $(x+1)+(x-2)=2x-1>3$. Три случая подтверждают значение $3$ и «плоский» участок посередине.

5. 5

   Перепроверим через неравенство треугольника. $|x+1|+|x-2|=|x+1|+|2-x|\ge|(x+1)+(2-x)|=3$, равенство возможно только если $x+1$ и $2-x$ одного знака — то есть при $-1\le x\le 2$, что совпадает с разбором по случаям. Примеры: при $x=0$ сумма $1+2=3$; при $x=5$ — $6+3=9$.