Решите систему ½x + ¼y = 4 и −4x − 3y = −2. Ответ запишите в виде упорядоченной пары.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавимся от дробей в первом уравнении. Знаменатели равны $2$ и $4$, поэтому умножим всё уравнение на $4$:

   $4\left(\tfrac12 x\right)+4\left(\tfrac14 y\right)=4(4)\quad\Longrightarrow\quad 2x+y=16$

   Умножить нужно каждое слагаемое, включая правую часть, — забытое $4\times 4$ и есть типичная ошибка.

2. 2

   Выразим переменную с коэффициентом 1. Из $2x+y=16$ получаем

   $y=16-2x$

   После этого подстановка обходится дёшево; сложение уравнений тоже сработало бы, но здесь $y$ уже стоит отдельно с точностью до знака.

3. 3

   Подставим во второе уравнение.

   $-4x-3(16-2x)=-2$

   $-4x-48+6x=-2$

   Обратим внимание: $-3$ умножается на оба слагаемых скобки $(16-2x)$, превращая $-2x$ в $+6x$.

4. 4

   Найдём x.

   $2x-48=-2\quad\Longrightarrow\quad 2x=46\quad\Longrightarrow\quad x=23$

5. 5

   Подставим обратно и найдём y.

   $y=16-2(23)=16-46=-30$

   $\boxed{(23,\,-30)}$

6. 6

   Проверим в обоих исходных уравнениях. Первое: $\tfrac12(23)+\tfrac14(-30)=11.5-7.5=4$ ✓. Второе: $-4(23)-3(-30)=-92+90=-2$ ✓. Оба выполняются, значит пара найдена верно — проверка только одного уравнения не поймала бы ошибку, допущенную после подстановки.