Докажите, что kt + xy > ky + tx равносильно (k − x)(t − y) > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Переносим всё в одну часть неравенства. Вычтем $ky$ и $tx$ из обеих частей, чтобы сравнивать с нулём:

   $kt-tx+xy-ky>0$

2. 2

   Группируем слагаемые по общему множителю. Первые два слагаемых содержат $t$, последние два — $y$:

   $t(k-x)+y(x-k)>0$

3. 3

   Делаем скобки одинаковыми. Замечаем, что $x-k=-(k-x)$, поэтому второе слагаемое — это $-y(k-x)$:

   $t(k-x)-y(k-x)>0$

   Именно этот переход позволяет дальше вынести общий множитель.

4. 4

   Выносим общий двучлен за скобки.

   $(k-x)(t-y)>0$

5. 5

   Формулируем условие и проверяем его. Произведение двух действительных чисел положительно тогда и только тогда, когда оба они положительны или оба отрицательны:

   $\left(k>x\ \text{ и }\ t>y\right)\quad\text{или}\quad\left(k<x\ \text{ и }\ t<y\right)$

   Проверим на примере: $k=4, t=3, x=1, y=2$ (разности положительны): слева $=12+2=14$, справа $=8+3=11$, $14>11$ $\checkmark$, $(3)(1)=3>0$ $\checkmark$. Теперь $k=1, t=3, x=4, y=2$ (знаки разные): слева $=3+8=11$, справа $=2+12=14$, неравенство не выполняется $\checkmark$, $(-3)(1)=-3<0$.