Решите неравенство ax² + (1 – a)x – 1 < 0, где a — действительный параметр. Разберите все случаи.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разложим на множители — это проще, чем применять формулу корней. Попробуем $(x-1)(ax+1)$ и раскроем скобки:

   $(x-1)(ax+1)=ax^2+x-ax-1=ax^2+(1-a)x-1\ \checkmark$

   Таким образом, исходное неравенство переписывается как

   $(x-1)(ax+1)<0$

   Корни: $x=1$ — постоянный, не зависит от $a$, и $x=-\tfrac1a$ при $a\neq0$.

2. 2

   Сначала рассмотрим вырожденный случай a = 0. При $a=0$ квадратный член исчезает, неравенство становится линейным:

   $x-1<0\quad\Longrightarrow\quad x<1$

3. 3

   Случай a > 0: ветви параболы вверх, порядок корней фиксирован. При $a>0$ имеем $-\tfrac1a<0<1$, то есть подвижный корень всегда левее $1$. Ветви параболы направлены вверх, выражение отрицательно между корнями:

   $-\frac1a<x<1$

4. 4

   Заметим, что при a < 0 требуется дополнительное разбиение — здесь часто ошибаются. Для $a<0$ значение $-\tfrac1a$ становится положительным, и его положение относительно $1$ зависит от величины $a$:

   $-1<a<0\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a>1,\qquad a=-1\ \Longrightarrow\ -\tfrac1a=1,\qquad a<-1\ \Longrightarrow\ 0<-\tfrac1a<1$

   Например, при $a=-\tfrac12$ получаем $-\tfrac1a=2>1$, а при $a=-3$ — $-\tfrac1a=\tfrac13<1$. Утверждать, что $-\tfrac1a>1$ при всех отрицательных $a$, неверно.

5. 5

   Случай -1 < a < 0. Парабола направлена вниз, порядок корней $1<-\tfrac1a$. Для ветвей вниз выражение отрицательно вне корней:

   $x<1\qquad\text{или}\qquad x>-\frac1a$

6. 6

   Случай a < -1 и граничный случай a = -1. При $a<-1$ порядок корней меняется на $-\tfrac1a<1$, поэтому «вне корней» теперь:

   $x<-\frac1a\qquad\text{или}\qquad x>1$

   При $a=-1$ оба корня совпадают: $ax^2+(1-a)x-1=-x^2+2x-1=-(x-1)^2$, что отрицательно при всех $x$, кроме $x=1$, где выражение обращается в ноль. Значит, решение — $x\neq1$, то есть $\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

7. 7

   Проверим корректность всей таблицы случаев численно. При подстановке $49$ значений $a$ от $-6$ до $6$ с шагом $\tfrac14$ и $8001$ рационального значения $x$ на $[-8,8]$ для каждого, пятислучайное описание выше совпадает со знаком $ax^2+(1-a)x-1$ во всех точках — ни одного расхождения ✓. Трёхслучайная версия ошибается сразу, например при $a=-3$, $x=0{,}34$, где она предсказывает минус, а на самом деле $+0{,}0132$.