Найдите значение C = x² − 8xy + 16y², если x − 4y = 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечается, что данное условие не определяет $x$ и $y$ по отдельности. Одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений, поэтому выражение должно зависеть только от комбинации $x - 4y$. Это явный намёк на полный квадрат.

2. 2

   Рассмотрим выражение как полный квадрат. Известна формула:

   $(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$

   Здесь $A^2 = x^2$, значит $A = x$, а $B^2 = 16y^2$, значит $B = 4y$. Проверим средний член: $2AB = 2 \cdot x \cdot 4y = 8xy$, что соответствует $-8xy$ в исходном выражении.

3. 3

   Перепишем выражение в виде квадрата разности:

   $C = x^2 - 8xy + 16y^2 = (x - 4y)^2$

4. 4

   Подставим данное значение скобки. Так как $x - 4y = 5$:

   $C = 5^2 = 25$

   Здесь подставляется всё выражение $x - 4y$, а не отдельные значения $x$ и $y$ — именно это делает задачу решаемой.

5. 5

   Проверим на конкретных парах. Любые $(x, y)$, для которых $x - 4y = 5$, должны давать тот же результат. Пусть $y = 0$, $x = 5$: $25 - 0 + 0 = 25 \ \checkmark$. Пусть $y = 1$, $x = 9$: $81 - 72 + 16 = 25 \ \checkmark$. Пусть $y = -2$, $x = -3$: $9 - 48 + 64 = 25 \ \checkmark$.