Разложить (y - x)²(x + y)² - (x - y)²(x + y) на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём биномиальные множители к одному виду. В первом слагаемом стоит $(y-x)^{2}$, а во втором — $(x-y)^{2}$. Так как $y-x=-(x-y)$, а при возведении в квадрат знак исчезает,

   $(y-x)^{2}=(-(x-y))^{2}=(x-y)^{2}.$

   Перепишем первое слагаемое через $(x-y)^{2}$ — так общий множитель становится заметен; без этого шага его легко не увидеть.

2. 2

   Запишем выражение в согласованном виде. Теперь задача принимает вид

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y).$

   Оба слагаемых явно содержат $(x-y)^{2}$ и хотя бы одну степень $(x+y)$.

3. 3

   Находим наибольший общий множитель. Сравнивая множители: $(x-y)$ входит в обе части во второй степени, а $(x+y)$ — во второй степени в первом слагаемом и в первой — во втором. В НОК берём наименьшую степень каждого:

   $\text{НОК}=(x-y)^{2}(x+y).$

4. 4

   Выносим общий множитель за скобку. Делим каждое слагаемое на НОК: от первого остаётся $(x+y)$, от второго — $1$:

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y)=(x-y)^{2}(x+y)\left[(x+y)-1\right].$

   Число $1$ часто теряют — второе слагаемое не исчезает при вынесении НОК, а превращается в $1$.

5. 5

   Запишем ответ и проверим подстановкой. Полное разложение:

   $(x-y)^{2}(x+y)(x+y-1),$

   и ни один из трёх множителей далее не раскладывается на рациональные множители. Проверим при $x=2.4$, $y=1.1$: исходное выражение даёт $14.7875$, разложенное — тоже $14.7875$ ✓; при другой случайной паре значения также совпадают до девятого знака.