Найдите область определения функции f(x) = √(x−4) + √(x+15). Ответ дайте в интервальной записи.

Step-by-step solution

1. 1

   Понимаем, что сумма определена только там, где определён каждый слагаемый. Для того чтобы $f(x)$ принимала вещественные значения, оба корня должны существовать при одном и том же $x$ — недостаточно, чтобы существовал только один из них. Поэтому область определения — это пересечение областей определения каждого корня, а не их объединение. Поскольку это квадратные корни (чётный показатель), подкоренные выражения должны быть неотрицательны; знаменателя здесь нет, поэтому нулевые подкоренные выражения допустимы.

2. 2

   Запишем условие для первого корня:

   $x-4\geq 0\quad\Longrightarrow\quad x\geq 4$

3. 3

   Запишем условие для второго корня:

   $x+15\geq 0\quad\Longrightarrow\quad x\geq -15$

4. 4

   Пересекаем оба условия. Оба должны выполняться одновременно, поэтому оставляем более строгое. Любое $x\geq 4$ автоматически удовлетворяет $x\geq -15$, но не наоборот — например, $x=0$ проходит по второму условию, но не по первому. Значит,

   $x\geq 4$

5. 5

   Записываем ответ в интервальной форме и проверяем границу. В интервальной записи область определения:

   $[4,\infty)$

   Скобка у $4$ квадратная, так как $f(4)=\sqrt{0}+\sqrt{19}=\sqrt{19}$ — вполне допустимое вещественное число, а вот $f(3)$ потребует $\sqrt{-1}$. Значит, область включает левую границу и продолжается вправо без ограничения.