Разложить (1/16)x⁶ + x³ + 4 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем скрытый квадратный трёхчлен. Показатели степеней — $6,3,0$, то есть все кратны $3$, а $x^6=(x^3)^2$. Следовательно, данное выражение — квадратный трёхчлен относительно $x^3$:

   $\frac{1}{16}\left(x^3\right)^2+1\cdot x^3+4$

2. 2

   Вводим замену $u = x^3$ и избавляемся от дроби. При $u=x^3$ получаем $\tfrac{1}{16}u^2+u+4$. Вынесем $\tfrac{1}{16}$ за скобку (или домножим внутреннее выражение на $16$), чтобы получить целые коэффициенты:

   $\frac{1}{16}\left(u^2+16u+64\right)$

   Проверим: $16\times1=16$ и $16\times4=64$ — всё верно.

3. 3

   Распознаём полный квадрат. В $u^2+16u+64$ видно, что $64=8^2$, а $2\times8=16$ совпадает со средним коэффициентом, значит:

   $u^2+16u+64=(u+8)^2$

   (Аналогично, дискриминант $16^2-4\cdot64=0$, что подтверждает совпадающие корни.)

4. 4

   Возвращаемся к исходной переменной.

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}\left(x^3+8\right)^2$

5. 5

   Доводим разложение с помощью суммы кубов. Так как $x^3+8=x^3+2^3$, по формуле суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ имеем $x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$, а значит, при возведении в квадрат:

   $\frac{1}{16}x^6+x^3+4=\frac{1}{16}(x+2)^2\left(x^2-2x+4\right)^2$

   Квадратный трёхчлен $x^2-2x+4$ имеет дискриминант $4-16=-12<0$, то есть не раскладывается на множители над действительными числами, разложение завершено.

6. 6

   Проверяем вычисления численно. Сравнение исходного выражения и обеих форм разложения при $60$ случайных значениях $x$ из $[-4,4]$ показывает совпадение до машинной точности ✓. Для проверки при $x=2$: исходное $=\tfrac{64}{16}+8+4=16$, а $\tfrac{1}{16}(8+8)^2=\tfrac{256}{16}=16$ ✓.