Решить неравенство 2x² + x − 1 > 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Разложим квадратный трёхчлен на множители. Разобьём средний член парой чисел с произведением $2\cdot(-1)=-2$ и суммой $+1$ — это $+2$ и $-1$:

   $2x^2+2x-x-1=2x(x+1)-1(x+1)=(2x-1)(x+1)$

   Разложение стоит потраченных усилий: корни после него видны без всяких квадратных корней.

2. 2

   Выпишем корни. Из $(2x-1)(x+1)=0$ получаем $x=\frac12$ и $x=-1$. Они разбивают числовую прямую на промежутки $(-\infty,-1)$, $\left(-1,\frac12\right)$ и $\left(\frac12,\infty\right)$.

3. 3

   Предскажем ответ по виду параболы. Старший коэффициент $2>0$, значит ветви направлены вверх: трёхчлен положителен вне своих корней и отрицателен строго между ними. Форма ответа уже понятна.

4. 4

   Подтвердим одной пробной точкой на каждом промежутке.

   $x=-2:\ (-5)(-1)=5>0\qquad x=0:\ (-1)(1)=-1<0\qquad x=1:\ (1)(2)=2>0$

   Всё сходится с предсказанием: крайние промежутки подходят, средний — нет. По сути произведение положительно ровно тогда, когда оба множителя одного знака.

5. 5

   Разберёмся с концами промежутков. В точках $x=-1$ и $x=\frac12$ выражение равно ровно $0$, а $0>0$ неверно, поэтому неравенство строгое на обоих концах:

   $x\in(-\infty,-1)\cup\left(\tfrac12,\infty\right)$