Решите уравнение x⁴ − 24x² − 25 = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём биквадратный вид. Переменная $x$ входит только в чётных степенях, поэтому замена

   $t=x^{2}\quad(\text{причём }t\ge 0\text{ для действительных }x)$

   превращает уравнение четвёртой степени в квадратное. Если сразу записать ограничение $t\ge 0$, отбор корней дальше произойдёт сам собой.

2. 2

   Переписываем и решаем квадратное уравнение относительно t.

   $t^{2}-24t-25=0\quad\Longrightarrow\quad (t-25)(t+1)=0$

   (Пара чисел с произведением $-25$ и суммой $-24$ — это $-25$ и $1$.) Итак, $t=25$ или $t=-1$.

3. 3

   Отбрасываем недопустимое значение. Величина $t=x^{2}$ для действительных $x$ отрицательной быть не может, поэтому $t=-1$ не даёт ни одного действительного решения.

4. 4

   Возвращаемся к x от допустимого значения.

   $x^{2}=25\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 5$

   $\boxed{x=5\ \text{или}\ x=-5}$

5. 5

   Проверяем оба корня. При $x=5$: $625-24(25)-25=625-600-25=0$ ✓. При $x=-5$ то же самое, ведь степени только чётные ✓.

6. 6

   Записываем полное разложение на множители. $x^{4}-24x^{2}-25=\left(x^{2}-25\right)\left(x^{2}+1\right)=(x-5)(x+5)\left(x^{2}+1\right)$. Всего у многочлена четвёртой степени четыре корня — действительные $\pm 5$ и комплексные $\pm i$; об этом стоит сказать, если в задаче требуются все корни, а не только действительные.