Решить уравнение (x − 2x/(x + 2))² + 4x²/(x + 2) = 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала упрощаем скобку — в этом весь фокус. Приводим оба слагаемых к общему знаменателю $x+2$:

   $x-\frac{2x}{x+2}=\frac{x(x+2)-2x}{x+2}=\frac{x^{2}+2x-2x}{x+2}=\frac{x^{2}}{x+2}$

   Так что громоздкая скобка — это просто $\dfrac{x^{2}}{x+2}$.

2. 2

   Вводим замену. Положим

   $y=\frac{x^{2}}{x+2}$

   Тогда второе слагаемое равно $\dfrac{4x^{2}}{x+2}=4y$, и уравнение превращается в обычное квадратное:

   $y^{2}+4y=5\quad\Longrightarrow\quad y^{2}+4y-5=0$

3. 3

   Решаем относительно y.

   $(y+5)(y-1)=0\quad\Longrightarrow\quad y=1\ \text{или}\ y=-5$

4. 4

   Возвращаемся к x при y = 1.

   $\frac{x^{2}}{x+2}=1\ \Longrightarrow\ x^{2}=x+2\ \Longrightarrow\ x^{2}-x-2=0\ \Longrightarrow\ (x-2)(x+1)=0$

   отсюда $x=2$ или $x=-1$ (оба годятся, поскольку ни один из них не равен $-2$).

5. 5

   Проверяем, даёт ли y = −5 действительные решения.

   $\frac{x^{2}}{x+2}=-5\ \Longrightarrow\ x^{2}=-5x-10\ \Longrightarrow\ x^{2}+5x+10=0$

   Дискриминант равен $25-40=-15<0$, поэтому эта ветвь не даёт действительных корней. Отбросить её без проверки — единственное место, где ответ мог бы оказаться неверным.

   $\boxed{x=2\ \text{или}\ x=-1}$

6. 6

   Проверяем в исходном уравнении. При $x=2$ скобка равна $2-\tfrac{4}{4}=1$, а второе слагаемое — $\tfrac{16}{4}=4$, поэтому $1+4=5$ ✓. При $x=-1$ скобка равна $-1-\tfrac{-2}{1}=1$, а второе слагаемое — $\tfrac{4}{1}=4$, значит $1+4=5$ ✓.