Решите уравнение x^sqrt(log x) = 10^125, где log — десятичный логарифм.

Step-by-step solution

1. 1

   Делаем замену, чтобы обе части стали степенями десятки. Трудность в том, что $x$ стоит и в основании, и внутри показателя. Положив

   $y=\log x\quad\Longleftrightarrow\quad x=10^{y}$

   мы заменяем основание степенью десятки, а показатель — величиной $\sqrt{y}$, и левая часть принимает тот же вид, что и правая.

2. 2

   Переписываем уравнение с заменой и применяем правило степени в степени.

   $\left(10^{y}\right)^{\sqrt{y}}=10^{125}\quad\Longrightarrow\quad 10^{\,y\sqrt{y}}=10^{125}$

3. 3

   Приравниваем показатели. Функция $t\mapsto 10^{t}$ взаимно однозначна, поэтому показатели обязаны совпасть:

   $y\sqrt{y}=125\quad\Longrightarrow\quad y^{3/2}=125$

   Здесь $y\sqrt y=y^{1}\cdot y^{1/2}=y^{3/2}$, а условие $y\ge0$ необходимо, чтобы $\sqrt{\log x}$ был действительным.

4. 4

   Решаем уравнение с дробным показателем. Возведём обе части в степень $\tfrac23$, обратную к $\tfrac32$:

   $y=125^{2/3}=\left(5^{3}\right)^{2/3}=5^{2}=25$

5. 5

   Возвращаемся к исходной переменной. Из $y=\log x=25$ получаем

   $x=10^{25}$

6. 6

   Проверяем ответ в исходном уравнении. При $x=10^{25}$ имеем $\log x=25$ и $\sqrt{\log x}=5$, поэтому левая часть равна $\left(10^{25}\right)^{5}=10^{125}$ — ровно правая часть. Вся проверка сводится к арифметике показателей: $25\times5=125$.