Решить уравнение −4.6173x² − 0.2906x + 20.029 = 0 относительно x.

Step-by-step solution

1. 1

   Избавляемся от отрицательного старшего коэффициента. Умножение уравнения на $-1$ не меняет корней, но убирает самый «ошибкоопасный» знак:

   $-4.6173x^2-0.2906x+20.029=0\iff 4.6173x^2+0.2906x-20.029=0$

   Теперь $a=4.6173$, $b=0.2906$, $c=-20.029$, и знаменатель $2a$ в формуле корней положителен.

2. 2

   Считаем дискриминант.

   $\Delta=b^2-4ac=0.084448-4(4.6173)(-20.029)=0.084448+369.9196=370.00406$

   $\sqrt{\Delta}=19.23549$

   Отрицательный $c$ гарантирует $-4ac>0$, поэтому ещё до вычислений ясно: корней два, они действительные и разных знаков.

3. 3

   Применяем формулу корней квадратного уравнения.

   $x=\frac{-0.2906\pm 19.23549}{2(4.6173)}=\frac{-0.2906\pm 19.23549}{9.2346}$

4. 4

   Вычисляем оба корня.

   $x_1=\frac{-0.2906-19.23549}{9.2346}=-2.11445,\qquad x_2=\frac{-0.2906+19.23549}{9.2346}=2.05151$

   При положительном старшем коэффициенте ветвь со знаком «плюс» теперь даёт больший корень — ровно так, как и подсказывает интуиция.

5. 5

   Проверяем подстановкой и по теореме Виета. Подставим $x=2.05151$ в исходное уравнение: $-4.6173(4.20869)-0.2906(2.05151)+20.029=-19.43278-0.5962+20.029\approx 0\;\checkmark$. По Виета сумма корней должна равняться $-\tfrac{0.2906}{4.6173}=-0.06294$, и действительно $-2.11445+2.05151=-0.06294\;\checkmark$; произведение должно равняться $\tfrac{-20.029}{4.6173}=-4.33782$, а получается $(-2.11445)(2.05151)=-4.33782\;\checkmark$.