Разложите выражение полностью или укажите, что многочлен неприводим: 9x³ − 9x.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем полный наибольший общий множитель. Оба слагаемых содержат число $9$, а также переменную $x$, поэтому наибольший общий множитель — $9x$, а не просто $9$. Часто ошибочно выносят только число, оставляя разложение неполным. Получаем: $9x^{3}-9x=9x\left(x^{2}-1\right).$

2. 2

   Рассмотрим оставшееся выражение. В скобках $x^{2}-1$ — это разность квадратов, так как $1=1^{2}$.

3. 3

   Применим формулу разности квадратов. Подставляя $a=x$ и $b=1$ в $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, получаем: $x^{2}-1=(x-1)(x+1).$

4. 4

   Запишем итоговое разложение. $9x^{3}-9x=9x(x-1)(x+1).$ Все три множителя — линейные, дальнейшее разложение невозможно.

5. 5

   Проверим раскрытием скобок и по корням. Раскрывая: $9x\left(x^{2}-1\right)=9x^{3}-9x$. Для проверки корней: исходный многочлен обращается в ноль при $x=0,\pm 1$ — именно при тех $x$, при которых обнуляются $9x$, $x-1$ и $x+1$.