Упростите сложную дробь [(6y² + y − 1)/(4y² + 4y + 1)] ÷ [(3y² + 2y − 1)/(2y² − 7y − 4)].

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала читаем сложную дробь как деление. Ситуация, когда в числителе и знаменателе стоят дроби, записывается как

   $\frac{6y^{2}+y-1}{4y^{2}+4y+1}\div\frac{3y^{2}+2y-1}{2y^{2}-7y-4}$

2. 2

   Разложим все четыре квадратных многочлена на множители:

   $6y^{2}+y-1=(3y-1)(2y+1),\qquad 4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$

   $3y^{2}+2y-1=(3y-1)(y+1),\qquad 2y^{2}-7y-4=(2y+1)(y-4)$

   Следует заметить, что $4y^{2}+4y+1$ — это полный квадрат, что позволяет сразу разложить его без применения метода группировки.

3. 3

   Преобразуем деление в умножение на обратную дробь и соберём выражение:

   $\frac{(3y-1)(2y+1)}{(2y+1)^{2}}\cdot\frac{(2y+1)(y-4)}{(3y-1)(y+1)}$

4. 4

   Выполним сокращение одинаковых множителей. В числителе получается $(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)$, в знаменателе — $(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)$. Множители $(3y-1)$ и $(2y+1)^{2}$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому они полностью сокращаются:

   $\frac{(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)}{(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)}=\frac{y-4}{y+1}$

   $\boxed{\dfrac{y-4}{y+1}}\qquad\left(y\neq -\tfrac12,\ \tfrac13,\ -1,\ 4\right)$

5. 5

   Проверим результат на частном значении. При $y=0$: верхняя дробь равна $\tfrac{-1}{1}=-1$, нижняя — $\tfrac{-1}{-4}=\tfrac14$, значит, общее частное $-1\div\tfrac14=-4$; подставляя в ответ, получаем $\tfrac{-4}{1}=-4$ — совпадает.

6. 6

   Укажем недопустимые значения переменной. Кроме очевидного $y=-1$, исходное выражение требует $y\neq-\tfrac12$ (оба знаменателя внутренних дробей), $y\neq\tfrac13$ и $y\neq 4$ (чтобы делитель не обращался в ноль или не был неопределён).