Для произвольных множеств A, B и C выяснить, верно ли дополнение[(A − B) ∪ (B − A)] − [(A ∩ B) − дополнение(C)] = [(A ∩ B) − C] ∪ дополнение(A ∪ B). Доказать или привести контрпример.

Step-by-step solution

1. 1

   Переписываем каждую разность как пересечение с дополнением. Одно-единственное правило $X-Y=X\cap\overline{Y}$ делает всю выкладку механической:

   $A-B=A\cap\overline{B},\qquad B-A=B\cap\overline{A}$

   поэтому $(A-B)\cup(B-A)$ — это симметрическая разность $A\triangle B$, то есть элементы, лежащие ровно в одном из множеств $A$, $B$.

2. 2

   Берём дополнение симметрической разности. Элемент не лежит ровно в одном из $A,B$ в точности тогда, когда он лежит в обоих или ни в одном:

   $\overline{A\triangle B}=(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}$

   Это структурное ядро доказательства: обе части правой стороны доказываемого равенства уже видны здесь.

3. 3

   Упрощаем вычитаемое множество. Пользуясь $\overline{\overline{C}}=C$,

   $(A\cap B)-\overline{C}=(A\cap B)\cap\overline{\overline{C}}=A\cap B\cap C$

   Значит, левая часть равна

   $\Big[(A\cap B)\cup\overline{(A\cup B)}\Big]-\big(A\cap B\cap C\big)$

4. 4

   Распределяем вычитание по объединению. Разность множеств распределяется относительно объединения, $(X\cup Y)-Z=(X-Z)\cup(Y-Z)$, что даёт

   $\big[(A\cap B)-(A\cap B\cap C)\big]\cup\big[\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)\big]$

5. 5

   Упрощаем каждую часть по отдельности. В первой удаление $A\cap B\cap C$ из $A\cap B$ убирает ровно ту часть, что лежит внутри $C$:

   $(A\cap B)-(A\cap B\cap C)=(A\cap B)-C$

   Во второй множество $\overline{(A\cup B)}$ не пересекается с $A\cap B$ (а значит, и с $A\cap B\cap C$), поэтому удаление ничего не меняет:

   $\overline{(A\cup B)}-(A\cap B\cap C)=\overline{(A\cup B)}$

6. 6

   Делаем вывод. Соединяя обе части обратно, получаем

   $\text{ЛЧ}=\big[(A\cap B)-C\big]\cup\overline{(A\cup B)}=\text{ПЧ}$

   $\boxed{\text{Тождество верно для любых множеств }A,B,C}$

   Заметим, что никакого дополнительного условия на множества не понадобилось — равенство выполняется безусловно.

7. 7

   Проверяем полным перебором принадлежностей. Каждый элемент попадает в одну из $8$ областей — по тому, лежит ли он в $A$, в $B$, в $C$. Перебираем все восемь: элемент из $A\cap B$ принадлежит обеим частям тогда и только тогда, когда он вне $C$; элемент вне $A\cup B$ принадлежит обеим частям всегда; элемент, лежащий ровно в одном из $A,B$, не принадлежит ни одной части (слева его исключает дополнение симметрической разности, справа он не попадает ни в одно из двух слагаемых). Все восемь случаев согласуются, что подтверждает выкладки.