Упростите дробь (2¹⁰ + 2⁹ + 2⁸) / (2¹⁰ + 5 · 2⁹).

Step-by-step solution

1. 1

   Не следует подставлять значения степеней. Можно было бы вычислить $1024+512+256=1792$ в числителе и $1024+2560=3584$ в знаменателе, но смысл задания — в приёме, который работает и для буквенных показателей. Вместо вычислений применяется вынесение множителя.

2. 2

   Вынесем минимальную степень двойки из числителя. Среди показателей $10,9,8$ наименьшая — $2^{8}$:

   $2^{10}+2^{9}+2^{8}=2^{8}\left(2^{2}+2^{1}+1\right)=2^{8}(4+2+1)=7\cdot 2^{8}$

3. 3

   Вынесем минимальную степень двойки из знаменателя. Здесь показатели $10$ и $9$, поэтому выносим $2^{9}$:

   $2^{10}+5\cdot 2^{9}=2^{9}\left(2+5\right)=7\cdot 2^{9}$

   Коэффициент $5$ остаётся при своём слагаемом, поэтому в скобках получается $2+5=7$.

4. 4

   Сократим общие множители. В обеих скобках получено по $7$, а степени двойки вычитаются:

   $\frac{7\cdot 2^{8}}{7\cdot 2^{9}}=\frac{2^{8}}{2^{9}}=2^{8-9}=2^{-1}=\frac{1}{2}$

5. 5

   Проверим численно. $\dfrac{1792}{3584}=\dfrac{1}{2}$ — ровно, что совпадает с результатом после вынесения. Именно появление $7$ в обеих скобках позволяет дроби так просто сократиться.