Пусть z — комплексное число, для которого сопряжённое к (z − 1), умноженное на (4 + 8i), равно 2. Найдите значение квадрата модуля z.

Step-by-step solution

1. 1

   Поймём, почему одними модулями здесь не обойтись. Переход к модулям даёт $|z-1|\cdot|4+8i|=2$, то есть $|z-1|=\tfrac{2}{\sqrt{80}}$. Это расстояние от $z$ до $1$, а не $|z|$, поэтому величину $|z|^2$ так не определить. Значит, придётся действительно восстановить само число $z$.

2. 2

   Выделим сопряжённое и избавимся от мнимости в знаменателе. Разделим обе части на $4+8i=4(1+2i)$ и домножим на число, сопряжённое к знаменателю:

   $\overline{(z-1)}=\frac{2}{4(1+2i)}=\frac{1}{2(1+2i)}\cdot\frac{1-2i}{1-2i}=\frac{1-2i}{2(1+4)}=\frac{1-2i}{10}.$

3. 3

   Сопрягаем обе части, чтобы снять черту. Сопряжение обратно самому себе, то есть $\overline{\overline{w}}=w$, поэтому

   $z-1=\overline{\left(\frac{1-2i}{10}\right)}=\frac{1+2i}{10}=\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i.$

4. 4

   Находим $z$. Прибавим $1$:

   $z=1+\frac{1}{10}+\frac{1}{5}i=\frac{11}{10}+\frac{1}{5}i.$

5. 5

   Применяем формулу $|z|^2=a^2+b^2$. При $a=\tfrac{11}{10}$ и $b=\tfrac15$:

   $|z|^2=\frac{121}{100}+\frac{1}{25}=\frac{121}{100}+\frac{4}{100}=\frac{125}{100}=\frac54.$

   Проверка: $\overline{(z-1)}(4+8i)=\left(\tfrac{1-2i}{10}\right)(4+8i)=\tfrac{4+8i-8i+16}{10}=2$ — как и требовалось.