Решите x² − 3x − 10 ≥ 0 и x² − 1 ≤ 0 и найдите значения x, удовлетворяющие обоим неравенствам.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскладываем первый квадратный трёхчлен на множители. Два числа с произведением $-10$ и суммой $-3$ — это $-5$ и $+2$:

   $x^{2}-3x-10=(x-5)(x+2)\ge 0$

   Критические точки: $x=-2$ и $x=5$.

2. 2

   Считываем первое множество решений с параболы. Старший коэффициент положителен, поэтому ветви направлены вверх и парабола лежит не ниже оси вне своих корней (проверим $x=0$: $-10<0$, значит средний промежуток не подходит):

   $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$

   Обе граничные точки входят, потому что неравенство нестрогое.

3. 3

   Раскладываем второй трёхчлен по формуле разности квадратов.

   $x^{2}-1=(x-1)(x+1)\le 0$

   Критические точки: $x=-1$ и $x=1$.

4. 4

   Считываем второе множество решений. Парабола с ветвями вверх лежит не выше оси между своими корнями (проверим $x=0$: $-1\le 0$ ✓):

   $[-1,1]$

5. 5

   Пересекаем два множества. Нанесём их на одну числовую прямую: второе множество целиком лежит внутри $(-2,5)$ — а это в точности тот промежуток, который первое множество исключает. Формально $[-1,1]\cap(-\infty,-2]=\varnothing$ и $[-1,1]\cap[5,\infty)=\varnothing$, поэтому

   $\left((-\infty,-2]\cup[5,\infty)\right)\cap[-1,1]=\varnothing$

6. 6

   Записываем оба ответа. По отдельности: $(-\infty,-2]\cup[5,\infty)$ и $[-1,1]$. Вместе: ни одно действительное $x$ не подходит — система несовместна, и такую возможность стоит проверять всякий раз, когда накладываются сразу два квадратных неравенства.