Найдите все возможные значения x: √(x + 7) − 11 = 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала выделяем радикал. Если возвести обе части в квадрат, пока $-11$ ещё стоит слева, получится $(\sqrt{x+7}-11)^2 = x + 7 - 22\sqrt{x+7} + 121$ — корень никуда не делся, а выражение стало хуже прежнего. Прибавим $11$ к обеим частям:

   $\sqrt{x+7} = 13$

2. 2

   Убеждаемся, что решение в принципе может существовать. Справа стоит $13 > 0$, а арифметический квадратный корень неотрицателен, так что противоречия нет. (Если бы мы пришли к $\sqrt{x+7} = -13$, можно было бы сразу ответить «решений нет».)

3. 3

   Возводим обе части в квадрат. Когда радикал стоит отдельно, возведение проходит чисто:

   $x + 7 = 169$

4. 4

   Решаем линейное уравнение.

   $x = 169 - 7 = 162$

5. 5

   Проверяем на посторонний корень. Возведение в квадрат способно порождать ложные решения, поэтому подставляем найденное значение в исходное уравнение:

   $\sqrt{162+7} - 11 = \sqrt{169} - 11 = 13 - 11 = 2 \;\checkmark$

   Значит, $x = 162$ — настоящий корень. Для сравнения, ловушка $x = 169$ даёт $\sqrt{176} - 11 \approx 2.27 \neq 2$, а $x = 6$ даёт $\sqrt{13} - 11 \approx -7.39$ — оба варианта возникают из неверного обращения с $-11$.