Пусть g(x) равно 2x - 4, когда -2 < x ≤ 5, и x² - 2x + 3, когда x > 5. Найдите значения g(-1), g(7), g(0) и g(-2).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала определим, какая ветвь функции подходит для каждого значения. Для каждого аргумента сначала проверяется, выполняется ли условие для одной из ветвей, и только после этого подставляется значение. Ошибка часто возникает при подстановке в неверную ветвь.

2. 2

   (a) g(-1). Проверяется, верно ли $-2<-1\le 5$. Да, условие выполняется, значит, используется первая ветвь:

   $g(-1)=2(-1)-4=-2-4=-6.$

3. 3

   (b) g(7). Проверяется, верно ли $7>5$. Да, поэтому используется вторая ветвь:

   $g(7)=7^{2}-2(7)+3=49-14+3=38.$

4. 4

   (c) g(0). Проверяется, верно ли $-2<0\le 5$. Да, снова подходит первая ветвь:

   $g(0)=2(0)-4=-4.$

5. 5

   (d) g(-2) — внимательно смотрим на знаки неравенств. Первая ветвь требует $-2<x$, то есть строгое неравенство, поэтому $x=-2$ не подходит. Вторая ветвь требует $x>5$, что также не выполняется для $-2$. Таким образом, ни одна ветвь не определяет $g(-2)$, значит

   $g(-2)\ \text{не определено.}$

   Если бы условие было $-2\le x\le 5$, то ответ был бы $2(-2)-4=-8$. Один знак неравенства полностью меняет ответ.

6. 6

   Уточним область определения функции. Два условия вместе покрывают $(-2,5]\cup(5,\infty)=(-2,\infty)$, то есть $g$ определена при всех $x>-2$ и нигде больше. Обратите внимание: значения на концах не совпадают — при $x=5$ первая ветвь даёт $2(5)-4=6$, а вторая при $x$ чуть больше 5 — $25-10+3=18$, так что в точке $x=5$ происходит скачок графика.