Решите уравнение sqrt(3x − 8) − sqrt(2x − 3) + sqrt(x − 1) = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Прежде всего находим область допустимых значений. Все три подкоренных выражения должны быть неотрицательны: $3x \ge 8$, $2x \ge 3$, $x \ge 1$. Определяющим оказывается условие $x \ge \tfrac{8}{3} \approx 2.6667$, поэтому любой ответ меньше этого числа заведомо не годится.

2. 2

   Перегруппируем так, чтобы обе части были неотрицательны. В исходном виде слева смешаны знаки, и возведение в квадрат вышло бы громоздким. Перенесём отрицательное слагаемое вправо:

   $\sqrt{3x-8} + \sqrt{x-1} = \sqrt{2x-3}$

   Теперь обе части — суммы арифметических корней, то есть $\ge 0$, и возведение в квадрат не внесёт ошибки знака.

3. 3

   Возводим в квадрат первый раз. По формуле $(u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$:

   $(3x-8) + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} + (x-1) = 2x-3$

   $4x - 9 + 2\sqrt{(3x-8)(x-1)} = 2x - 3 \;\Longrightarrow\; \sqrt{(3x-8)(x-1)} = 3 - x$

4. 4

   Записываем новое условие на знак и возводим в квадрат ещё раз. Левая часть $\ge 0$, поэтому нужно $3 - x \ge 0$, то есть $x \le 3$. Вместе с областью определения это означает, что любое решение лежит в $\left[\tfrac{8}{3},\,3\right]$ — в очень узком окне. Возводим в квадрат:

   $3x^2 - 11x + 8 = x^2 - 6x + 9 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 5x - 1 = 0$

5. 5

   Решаем и отсеиваем лишнее. По формуле корней квадратного уравнения:

   $x = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4}$

   то есть $x \approx 2.6861$ или $x \approx -0.1861$. Отрицательное значение лежит далеко за областью определения (подкоренные выражения там отрицательны), поэтому годится только $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ — и заметим, как плотно оно укладывается внутрь $[2.6667,\,3]$.

6. 6

   Проверяем в исходном уравнении. При $x = 2.6861407$: $\sqrt{3x-8} = \sqrt{0.058422} = 0.241706$, $\sqrt{2x-3} = \sqrt{2.372281} = 1.540221$, $\sqrt{x-1} = \sqrt{1.686141} = 1.298515$. Тогда $0.241706 - 1.540221 + 1.298515 = 0.000000$ ✓. Символьно невязка упрощается ровно до $0$, значит $x = \tfrac{5+\sqrt{33}}{4}$ — единственное решение.