Разложить x¹⁰⁵ − 1 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Следует отметить, что чётность показателя не имеет значения. В отличие от суммы степеней, разность $x^{n}-1$ всегда делится на $x-1$ при любом натуральном $n$. Это легко видеть по теореме о корне: подставляя $x=1$, получаем $1^{105}-1=0$ — выражение обращается в ноль при любом показателе.

2. 2

   Применим формулу разности степеней. Пусть $a=x$, $b=1$, $n=105$:

   $a^{n}-b^{n}=(a-b)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$

   Во втором множителе все знаки плюсовые — это принципиальное отличие от случая суммы степеней, где знаки чередуются.

3. 3

   Запишем разложение.

   $x^{105}-1=(x-1)\left(x^{104}+x^{103}+x^{102}+\cdots+x+1\right)$

   Второй множитель — это конечная геометрическая сумма $\displaystyle\sum_{k=0}^{104}x^{k}$, что напрямую связано с формулой суммы геометрической прогрессии: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}x^{k}=\frac{x^{n}-1}{x-1}$ при $x\neq1$.

4. 4

   Проверим разложение раскрытием скобок и подстановкой. Если раскрыть скобки, $x\cdot\sum x^{k}$ даёт степени от $1$ до $105$, а $-1\cdot\sum x^{k}$ — от $0$ до $104$; все степени от $1$ до $104$ взаимно уничтожаются, остаётся $x^{105}-1$. Проверка при $x=2,3,5,-2,-3$ также подтверждает равенство.

5. 5

   Можно разложить дальше по делителям 105. Так как $105=3\times5\times7$, выражение можно разложить по каждому делителю. Например:

   $x^{105}-1=\left(x^{5}\right)^{21}-1=\left(x^{5}-1\right)\left(x^{100}+x^{95}+\cdots+1\right)$

   В общем случае $x^{d}-1$ делит $x^{105}-1$ при любом делителе $d$ числа $105$: $1,3,5,7,15,21,35,105$. Полное разложение над $\mathbb{Q}$ — это произведение соответствующих циклотомических многочленов $\Phi_{d}(x)$ по этим восьми делителям.