Разложить x² - 2xy + y² - 9 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Ищем группировку, дающую полный квадрат. При четырёх слагаемых обычно пробуют разбить их на $2+2$, но здесь первые три слагаемых $x^2-2xy+y^2$ образуют классический вид полного квадрата: два квадрата и средний член, равный $-2$ произведения их корней.

2. 2

   Сворачиваем первые три слагаемых.

   $x^2-2xy+y^2=(x-y)^2$

   Тогда выражение принимает вид

   $(x-y)^2-9$

   Задача с двумя переменными свелась к одной переменной $x-y$.

3. 3

   Замечаем разность квадратов. Так как $9=3^2$, имеем $A^2-B^2$ при $A=x-y$, $B=3$, а значит

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

4. 4

   Подставляем и записываем множители.

   $(x-y)^2-3^2=\bigl((x-y)-3\bigr)\bigl((x-y)+3\bigr)=(x-y-3)(x-y+3)$

5. 5

   Проверяем полноту разложения. Оба множителя линейны по $x$ и $y$, дальше не раскладываются. Заметим: выражение обращается в ноль ровно на двух параллельных прямых $x-y=3$ и $x-y=-3$ — это геометрический смысл ответа.

6. 6

   Проводим числовую проверку. Сравнение исходного выражения и произведения при $60$ случайных парах $(x,y)$ из $[-6,6]$ даёт совпадение с машинной точностью ✓. Контроль: $x=5, y=1$: исходное $=25-10+1-9=7$, а $(5-1-3)(5-1+3)=(1)(7)=7$ ✓.