Разделите 2t³ − t − 15 на t − 1 по схеме Горнера. Укажите неполное частное и остаток.

Step-by-step solution

1. 1

   Дописываем пропущенное слагаемое с $t^2$. Делимое — многочлен третьей степени, поэтому коэффициентов должно быть четыре:

   $2t^3+0\cdot t^2-t-15\;\Longrightarrow\; 2,\;0,\;-1,\;-15$

   Если не поставить $0$, получится деление многочлена $2t^2-t-15$ — совсем другая задача с другим ответом.

2. 2

   Берём $c=1$ и заранее предсказываем остаток. Из $t-1=t-(1)$ следует $c=1$, а теорема Безу даёт

   $f(1)=2-1-15=-14$

3. 3

   Умножаем и складываем по всем четырём столбцам.

   $\begin{array}{r|rrrr}1 & 2 & 0 & -1 & -15\\ & & 2 & 2 & 1\\ \hline & 2 & 2 & 1 & -14\end{array}$

   Сносим $2$; далее $2\cdot 1=2$ и $0+2=2$; затем $2\cdot 1=2$ и $-1+2=1$; наконец $1\cdot 1=1$ и $-15+1=-14$ — как и предсказано.

4. 4

   Считываем частное — квадратный трёхчлен. Степень понижается на единицу:

   $\text{неполное частное}=2t^2+2t+1,\qquad \text{остаток}=-14$

5. 5

   Проверяем тождество деления.

   $2t^3-t-15=(t-1)\left(2t^2+2t+1\right)-14$

   Раскроем скобки: $(t-1)(2t^2+2t+1)=2t^3+2t^2+t-2t^2-2t-1=2t^3-t-1$, а после вычитания $14$ получаем $2t^3-t-15\;\checkmark$. Ненулевой остаток показывает, что $t-1$ не является делителем, а так как у $2t^2+2t+1$ дискриминант равен $4-8=-4<0$, у кубического многочлена $2t^3-t-15$ ровно один действительный корень.