Найдите произведение AB матриц A со строками (1, 3, 2), (2, –1, –3), (1, 1, 0) и B со строками (–3, 2, 4), (1, 0, 2), (0, 2, 3).

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим размерности и уточним правило. $A$ — это матрица $3\times 3$, $B$ также $3\times 3$, значит, внутренние размерности совпадают, и $AB$ — матрица $3\times 3$. Элемент на позиции $(i, j)$ равен скалярному произведению $i$-й строки $A$ и $j$-го столбца $B$:

   $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{kj}.$

   Классическая ошибка — умножать элементы с одинаковыми индексами поэлементно, но это не определение произведения матриц.

2. 2

   Вычислим первую строку произведения. Первая строка $A$ — $(1,3,2)$:

   $(1)(-3)+(3)(1)+(2)(0)=0,$
   $(1)(2)+(3)(0)+(2)(2)=6,$
   $(1)(4)+(3)(2)+(2)(3)=16.$

3. 3

   Вычислим вторую строку. Вторая строка $A$ — $(2,-1,-3)$:

   $(2)(-3)+(-1)(1)+(-3)(0)=-7,$
   $(2)(2)+(-1)(0)+(-3)(2)=-2,$
   $(2)(4)+(-1)(2)+(-3)(3)=-3.$

4. 4

   Вычислим третью строку. Третья строка $A$ — $(1,1,0)$, поэтому третья строка $B$ не участвует:

   $(1)(-3)+(1)(1)+(0)(0)=-2,$
   $(1)(2)+(1)(0)+(0)(2)=2,$
   $(1)(4)+(1)(2)+(0)(3)=6.$

5. 5

   Соберём произведение.

   $AB=\begin{pmatrix}0&6&16\\ -7&-2&-3\\ -2&2&6\end{pmatrix}.$

6. 6

   Проверим на столбцовом векторе. Если умножить $B$ на $(1,0,0)^{T}$, получится первый столбец $B$: $(-3,1,0)^{T}$. Тогда $A(-3,1,0)^{T}=(-3+3+0,\ -6-1+0,\ -3+1+0)^{T}=(0,-7,-2)^{T}$ — это ровно первый столбец $AB$ ✓. Также важно помнить: умножение матриц не коммутативно, $BA$ — другая матрица.