Решите 0 = 0.7x + 6.804e-10 · x⁴ − 1210.23 относительно всех действительных x.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем уравнение четвёртой степени в стандартном виде. Расположив члены по убыванию степени,

   $6.804\times10^{-10}\,x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   Членов с $x^{3}$ и $x^{2}$ нет, но решить уравнение заменой это не позволяет: нечётный член $x^{1}$ исключает сведение к биквадратному.

2. 2

   Не отбрасываем член четвёртой степени. Множитель $6.804\times10^{-10}$ выглядит пренебрежимо малым, и хочется решить $0.7x=1210.23$ и записать $x\approx 1728.9$. Это неверно: при $x=1728.9$ член четвёртой степени равен

   $6.804\times10^{-10}\times(1728.9)^{4}\approx 6079,$

   а это в пять раз больше свободного члена $1210.23$, а вовсе не малая поправка. Малый коэффициент не означает малого слагаемого, когда $x$ велик: перелом наступает около $x\approx 1000$, задолго до наивной оценки.

3. 3

   Локализуем корни пробными подстановками. Вычислим $f(x)=6.804\times10^{-10}x^{4}+0.7x-1210.23$:

   $f(0)=-1210.23,\quad f(500)=-817.71,\quad f(1000)=+170.17,\quad f(1500)=+3284.30.$

   Значит, корень лежит в $(500,1000)$. Просмотр всего отрезка $[-5000,5000]$ даёт ровно две перемены знака: около $947$ и около $-1332$ — у уравнения два действительных корня и два комплексных.

4. 4

   Уточним каждый корень делением отрезка пополам. Делим пополам, пока не станет $|f|<10^{-6}$:

   $x_{+}\approx 947.035581,\qquad x_{-}\approx-1332.142808.$

   Метод Ньютона со стартом $x_{0}=1000$ сходится к тому же положительному значению за три итерации при $f'(x)=2.7216\times10^{-9}x^{3}+0.7$.

5. 5

   Подставим оба корня обратно. При $x=947.035581$ член четвёртой степени равен $547.31$, линейный — $662.92$; вместе со свободным $-1210.23$ они дают $\approx-3\times10^{-7}$ ✓. При $x=-1332.142808$ член четвёртой степени равен $2142.73$, линейный — $-932.50$, и они снова гасят свободный член ✓. Обратим внимание: в истинных корнях оба слагаемых сравнимы по величине — прямая противоположность предположению, из которого возникло $1728.9$.