Кривая C проходит через начало координат, все её точки имеют x > −1, и для каждой точки C произведение расстояния до F(1, 0) и расстояния до прямой x = a (где a < 0) равно 1. Найдите a.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем оба расстояния в алгебраическом виде. Для точки $P(x,y)$:

   $|PF|=\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}},\qquad \operatorname{dist}(P,\ x=a)=|x-a|$

   Кривая полностью лежит правее вертикальной прямой (её точки удовлетворяют $x>-1$, а $a<0$), значит, $x-a>0$ и модуль можно опустить:

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x-a)=1$

2. 2

   Воспользуемся единственной явно заданной точкой. Условие выполняется при любой точке $C$, но явно указана только точка $O$. Подстановка $x=0$, $y=0$ превращает функциональное уравнение в обычное уравнение относительно $a$ — в этом и состоит идея задачи.

3. 3

   Подставим начало координат.

   $\sqrt{(0-1)^{2}+0^{2}}\cdot(0-a)=1\quad\Longrightarrow\quad 1\cdot(-a)=1$

4. 4

   Вычислим $a$.

   $-a=1\quad\Longrightarrow\quad a=-1$

   Это согласуется с требованием $a<0$ ✓.

   $\boxed{a=-1}$

5. 5

   Проверим корректность предположения о знаке. При $a=-1$ прямая — это $x=-1$, а по условию все точки $C$ имеют $x>-1$, значит, $x-a=x+1>0$ всюду, и модуль действительно можно было опустить ✓. Тогда уравнение кривой:

   $\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}\,(x+1)=1$

   Возведение в квадрат даёт $(x+1)^{2}\left[(x-1)^{2}+y^{2}\right]=1$.

6. 6

   Проверим, что начало координат принадлежит этой кривой. При $(0,0)$: $(1)^{2}\left[1+0\right]=1$ ✓, значит, полученное уравнение действительно проходит через $O$, что подтверждает найденное значение $a$.