Решите неравенство (2x - 1)/3 - 4/(x + 2) > (x - 3)/6 + 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Отметим область допустимых значений и общий план решения. $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Поскольку переменная находится в знаменателе, умножать обе части на выражение с $x$ нельзя — корректно будет перенести всё в одну часть и исследовать знак одной дроби.

2. 2

   Приведём три многочлена к общему знаменателю 6. Игнорируя пока $\tfrac{4}{x+2}$, получаем: $\frac{2x-1}{3}-\frac{x-3}{6}-1 = \frac{2(2x-1)-(x-3)-6}{6} = \frac{4x-2-x+3-6}{6} = \frac{3x-5}{6}.$

3. 3

   Сведём неравенство к одной дроби. Теперь имеем $\dfrac{3x-5}{6}-\dfrac{4}{x+2}>0$. Приведём к общему знаменателю $6(x+2)$: $\frac{(3x-5)(x+2)-24}{6(x+2)} > 0.$ Раскрываем скобки в числителе: $3x^2+6x-5x-10-24 = 3x^2+x-34$, и так как $6>0$, на знак не влияет: $\frac{3x^2+x-34}{x+2} > 0.$

4. 4

   Находим корни числителя. $3x^2+x-34$ не раскладывается на целые множители (произведение $-102$, сумма $1$), поэтому используем формулу: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+408}}{6} = \frac{-1\pm\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373 \ \text{и}\ 3.2040.$

5. 5

   Строим таблицу знаков по трём критическим точкам. По порядку: $\tfrac{-1-\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373$, затем $-2$, затем $\tfrac{-1+\sqrt{409}}{6} \approx 3.2040$. Ветви параболы вверх, значит выражение положительно вне корней и отрицательно между ними, а $x+2$ меняет знак при $-2$. Получаем чередование знаков $-,\,+,\,-,\,+$ на четырёх промежутках.

6. 6

   Выписываем два положительных промежутка и проверяем. $x \in \left(\frac{-1-\sqrt{409}}{6},\ -2\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt{409}}{6},\ \infty\right).$ Подставляя в исходное неравенство: $x=-3$ даёт разность левой и правой частей $=+1.667>0$ (подходит), $x=-1$ даёт $-5.333$ (не подходит), $x=3$ даёт $-0.133$ (не подходит, чуть левее границы $3.2040$), $x=3.5$ даёт $+0.189$ (подходит). Все граничные точки исключаются, так как неравенство строгое, а $x=-2$ вне области допустимых значений.