Дано: 2x − y = 480 и 2y − x + m/3 = 0. Выразите x и y через m и найдите значения m, при которых x + y ≤ 8m/3.

Step-by-step solution

1. 1

   Отделим два уравнения от неравенства. Уравнения однозначно задают $x$ и $y$ при каждом $m$, а неравенство затем отбирает допустимые значения $m$. Только такой порядок и работает: одно лишь неравенство не может определить $x$ и $y$.

2. 2

   Приведём второе уравнение к стандартному виду. Из $2y-x+\dfrac{m}{3}=0$ следует

   $-x+2y=-\frac{m}{3}$

3. 3

   Подставим и найдём $x$, следя за знаком. Из первого уравнения $y=2x-480$; подставляем:

   $-x+2(2x-480)=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 3x-960=-\frac{m}{3}\ \Longrightarrow\ 9x-2880=-m$

   Теперь выражаем аккуратно: $9x=2880-m$, откуда

   $x=\frac{2880-m}{9}$

   В правой части равенства $9x-2880=-m$ стоит $-m$, поэтому после прибавления $2880$ получается $2880-m$, а не $m-2880$. Весь подвох задачи именно в этом знаке.

4. 4

   Найдём $y$ обратной подстановкой.

   $y=2x-480=\frac{5760-2m}{9}-\frac{4320}{9}=\frac{1440-2m}{9}$

   Проверим при $m=0$: $x=320$, $y=160$, и действительно $2(320)-160=480$ ✓, а также $2(160)-320+0=0$ ✓.

5. 5

   Составим $x+y$ и применим неравенство.

   $x+y=\frac{2880-m+1440-2m}{9}=\frac{4320-3m}{9}=\frac{1440-m}{3}$

   поэтому условие $x+y\le\dfrac{8m}{3}$ превращается в

   $\frac{1440-m}{3}\le\frac{8m}{3}\ \Longrightarrow\ 1440-m\le 8m\ \Longrightarrow\ 1440\le 9m\ \Longrightarrow\ m\ge 160$

6. 6

   Проверим границу и обе стороны от неё. При $m=160$: $x=\tfrac{2720}{9}$, $y=\tfrac{1120}{9}$, $x+y=\tfrac{1280}{3}$ и $\tfrac{8m}{3}=\tfrac{1280}{3}$ — получается равенство, значит, $160$ входит в ответ ✓. При $m=900$: $x+y=180\le 2400$ ✓. При $m=0$: $x+y=480$, а $\tfrac{8m}{3}=0$, то есть неравенство не выполняется ✓ — малые $m$ действительно исключаются.