Разложите x³ + 3x² − 4 на множители полностью.

Step-by-step solution

1. 1

   Перечислим возможные рациональные корни. Старший коэффициент равен $1$, значит, рациональные корни — делители свободного члена $-4$:

   $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$

2. 2

   Проверим маленькие значения. Пусть $f(x)=x^3+3x^2-4$:

   $f(1)=1+3-4=0$

   Значит, $x=1$ — корень, а $(x-1)$ — множитель. (Обратите внимание на отсутствие члена с $x$ — его коэффициент $0$, это важно для деления.)

3. 3

   Выполним деление на $(x-1)$ с помощью синтетического деления. Запишем коэффициенты $1,\,3,\,0,\,-4$ и делитель $1$:

   $1\quad 4\quad 4\ \ |\ \ 0$

   Остаток $0$ подтверждает корень, а частное — $x^2+4x+4$.

4. 4

   Разложим полученное частное. Это полный квадрат: $4=2^2$, а $2\cdot x\cdot 2=4x$:

   $x^2+4x+4=(x+2)^2\quad\Longrightarrow\quad x^3+3x^2-4=(x-1)(x+2)^2$

5. 5

   Проверим раскрытием скобок и по двойному корню. $(x-1)(x+2)^2=(x-1)(x^2+4x+4)=x^3+3x^2-4$ $\checkmark$. Также $f(-2)=-8+12-4=0$, и так как $-2$ — двойной корень, график касается оси в этой точке, но не пересекает её.