Разложить x² + (2a + 5)x + a² + 5a − 6 на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем выражение как квадратный трёхчлен по x. Данное выражение уже представлено в виде квадратного трёхчлена по переменной $x$: коэффициент при $x$ равен $2a+5$, свободный член — $a^2+5a-6$. Будем рассматривать $a$ как фиксированное число, чтобы использовать стандартный метод разложения на множители по сумме и произведению.

2. 2

   Разложим свободный член на множители. Необходимо найти такие числа, произведение которых равно $-6$, а сумма — $5$: это $6$ и $-1$.

   $a^{2}+5a-6=(a+6)(a-1)$

3. 3

   Проверим, дают ли эти числа нужную сумму для среднего коэффициента.

   $(a+6)+(a-1)=2a+5$

   Полученная сумма совпадает с коэффициентом при $x$, что указывает на возможность разложения трёхчлена по формуле $(x+p)(x+q)$, где $p=a+6$, $q=a-1$.

4. 4

   Запишем разложение на множители.

   $x^{2}+\big[(a+6)+(a-1)\big]x+(a+6)(a-1)=(x+a+6)(x+a-1)$

   $\boxed{(x+a+6)(x+a-1)}$

5. 5

   Проверим разложение раскрытием скобок. $(x+a+6)(x+a-1)=x^2+(a-1)x+(a+6)x+(a+6)(a-1)=x^2+(2a+5)x+a^2+5a-6$ — получено исходное выражение.