Разложить a⁴ + 4b⁴ на множители.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим затруднение. Дана сумма, причём это сумма двух квадратов: $\left(a^{2}\right)^{2}+\left(2b^{2}\right)^{2}$. Обычно такие выражения не раскладываются на множители над действительными числами. Однако можно искусственно получить разность квадратов — для этого к выражению прибавляют и тут же вычитают подходящий член, что не меняет значение, но позволяет выявить структуру.

2. 2

   Прибавим и вычтем $4a^{2}b^{2}$. Выбор не случаен: $4a^{2}b^{2}$ — это удвоенное произведение $a^{2}$ и $2b^{2}$, то есть как раз тот средний член, который нужен для полного квадрата:

   $a^{4}+4b^{4}=\underbrace{a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}}_{\text{полный квадрат}}-4a^{2}b^{2}$

3. 3

   Свернём первые три слагаемых.

   $a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}$

   Таким образом, исходное выражение превращается в разность квадратов:

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-(2ab)^{2}$

4. 4

   Применим формулу $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ при $A=a^{2}+2b^{2}$ и $B=2ab$:

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}+2b^{2}-2ab\right)\left(a^{2}+2b^{2}+2ab\right)$

   Упорядочим скобки по степеням $a$ по убыванию, чтобы получить стандартную запись тождество Софи Жермен:

   $a^{4}+4b^{4}=\left(a^{2}-2ab+2b^{2}\right)\left(a^{2}+2ab+2b^{2}\right)$

5. 5

   Проверим и убедимся в неприводимости множителей. При раскрытии скобок для всех $225$ целых пар $-7\le a,b\le7$ снова получается $a^{4}+4b^{4}$ ✓. Проверим при $a=1, b=1$: $1+4=5$, а $(1-2+2)(1+2+2)=1\cdot5=5$ ✓. Дискриминант каждого квадратного множителя по $a$ равен $4b^{2}-8b^{2}=-4b^{2}<0$, значит, далее над действительными не раскладываются — разложение полное.

6. 6

   Поймём, почему это полезно. При $b=1$ тождество даёт $a^{4}+4=\left(a^{2}-2a+2\right)\left(a^{2}+2a+2\right)$, что доказывает: $a^{4}+4$ составно при любом целом $a>1$ — классическое применение формулы в теории чисел.