Решите уравнение 2x = 2^x.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала подставим небольшие значения. В уравнении соседствуют линейное и показательное слагаемые, поэтому никакими алгебраическими преобразованиями $x$ не выделить. Подставляем целые числа:

   $x=1:\ 2(1)=2\ \text{и}\ 2^{1}=2\ \checkmark$

   $x=2:\ 2(2)=4\ \text{и}\ 2^{2}=4\ \checkmark$

   Оба значения — точные решения ✓. Остаётся вопрос, есть ли другие.

2. 2

   Перепишем задачу через одну функцию. Положим

   $f(x)=2^{x}-2x$

   Решения исходного уравнения — это в точности нули функции $f$. Мы уже знаем, что $f(1)=0$ и $f(2)=0$.

3. 3

   Оценим число корней через выпуклость. Функция $2^{x}$ выпукла — её вторая производная $(\ln2)^{2}2^{x}$ положительна всюду, — а $2x$ задаёт прямую. Прямая пересекает строго выпуклую кривую не более чем дважды. Два пересечения у нас уже есть, значит, других быть не может.

4. 4

   Подтвердим картину подстановкой. $f(0)=1-0=1>0$, $f(1.5)=2^{1.5}-3\approx2.828-3=-0.172<0$ и $f(3)=8-6=2>0$ ✓. Чередование «плюс, минус, плюс» показывает, что $f$ опускается ниже нуля ровно между $x=1$ и $x=2$, а вне этого промежутка остаётся положительной: ровно две перемены знака, а значит, ровно два корня.

5. 5

   Запишем полный ответ.

   $x=1\qquad\text{или}\qquad x=2$

   Обратите внимание, насколько это особый случай: $x=1$ решает $b^{x}=bx$ при любом основании $b$ — обе части равны $b$. Особенным основание $2$ делает второе пересечение: из $b^{2}=2b$ следует $b=2$, так что целочисленной пары нет ни у какого другого основания. Например, при $b=3$ второй корень иррационален: $x\approx 0{,}826018$.